Los fractales

   Los fractales, por Aldo Baruc Ayala Ledesma

Seguramente no has escuchado nada sobre fractales antes, así que te pongo en situación, imagina que tu y yo somos granjeros y necesitamos construir un corral para nuestro ganado, para ello tenemos vallas infinitas pero se nos pide utilizarlas todas. Seguro ya estas pensando que esto es alguna especie de concepto filosófico o un problema matemático inventado pero tiene solución, y la respuesta es: fractales.

Un fractal es un objeto geométrico que se caracteriza principalmente por contar con una estructura visualmente irregular o fragmentada, la cual se repite exacta e indefinidamente, y la expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular.

 La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número racional mayor a su dimensión topológica. Benoit Mandelbrot, fue el hombre que descubrió las formas matemáticas conocidas como fractales.

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Para que una figura sea considerada como fractal debe cumplir con estas características: 

•Auto similitud: un objeto es autosimilar o auto semejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo.

•Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas.

•Auto similitud estadística: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.

                                  

Existen dos características propias a los fractales. Ellas son importantes para comprender su estructura y su concepción. Primero, su Área o Superficie es finita, es decir, tiene límites. Por el contrario y por paradójico que esto resulte, su Perímetro o Longitud es infinita, es decir, no tiene límites.

Los primeros ejemplos de fractales se remontan a finales del siglo XIX, exactamente en el año1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto. 

Los fractales han existido desde hace demasiado tiempo, de hecho la misma naturaleza los genera, algunos ejemplos serian: ADN, algas, costas, cristales, cadenas montañosas, copos de nieve, olas, los anillos de Saturno, ritmo cariaco, relámpagos, entre muchos más.

Aunque también es posible verlos en Sistemas dinámicos, ya que los fractales no solo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos, dinámica que consta de ciclos que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Y en En manifestaciones artísticas ; la música puede contener formas fractales. La música tradicionalmente ha contado con especial facilidad a la hora de asimilar su lenguaje con el de las matemáticas. Los procesos de disminución y aumentación son reflejo de las cualidades de auto semejanza y autorreferencia. 

Alucinante verdad? Una figura que por mas que la acerques obtienes exactamente la misma figura, la cual cuenta con un área definida pero un perímetro infinito, y aun mas sorprendente, la naturaleza es capaz de crearlos de la nada. Te invito a observar los patrones de líneas en las hojas de los arboles, probablemente no veas nada  a simple vista pero con un poco de acercamiento entenderás lo increíble que es.

                                   

Algunos de los aportes mas destacables para comprender estos fractales fueron los de en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra. Y los los llamados conjuntos de Julia ,estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas.

En resumen, un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas y no importa cuanto lo acerquemos o le agreguemos, siempre va a mostrar la misma figura, si aun no te ha quedado del todo claro que son estos magníficos fenómenos adjunto un video para una mejor comprensión. 

Que son los fractales?